Matematics

Minggu, 29 Desember 2013

Nomor / Angka Romawi Kuno ( I V X L C D M )

Pada zaman dahulu kala orang romawi kuno menggunakan penomoran tersendiri yang sangat berbeda dengan sistem penomeran pada jaman seperti sekarang. Angka romawi hanya terdiri dari 7 nomor dengan simbol huruf tertentu di mana setiap huruf melangbangkan / memiliki arti angka tertentu, yaitu :

I / i untuk angka satu / 1
V / v untuk angka lima / 5
X / x untuk angka sepuluh / 10
L / l untuk angka lima puluh / 50
C / c untuk angka seratus / 100
D / d untuk angka lima ratus / 500
M / m untuk angka seribu / 1000

Beberapa kekurangan atau kelemahan sistem angka romawi, yakni :
1. Tidak ada angka nol / 0
2. Terlalu panjang untuk menyebut bilangan tertentu
3. Terbatas untuk bilangan-bilangan kecil saja

Untuk menutupi kekurangan angka romawi pada keterbatasan angka kecil, maka dibuat pengali seribu dengan simbol garis strip di atas simbol hurup (kecuali I).

V / v dengan garis di atas untuk angka lima ribu / 5000
X / x dengan garis di atas untuk angka sepuluh ribu / 10000
L / l dengan garis di atas untuk angka lima puluh ribu / 50000
C / c dengan garis di atas untuk angka seratus ribu / 100000
D / d dengan garis di atas untuk angka lima ratus ribu / 500000
M / m dengan garis di atas untuk angka satu juta / 1000000

Metode / Teknik Penomoran Angka Romawi :
1. Simbol ditulis dari yang paling besar ke yang paling kecil
2. Semua simbol besar ke kecil dijumlah kecuali kecil ke besar berarti ada pengurangan.

Contoh penulisan angka romawi kuno :

1. 16 = XVI
2. 35 = XXXV
3. 45 = XLV
4. 79 = LXXIX
5. 99 = IC
6. 110 = CX
7. 999 = CMXCIX
8. 1666 = MDCLXVI
9. 2008 = MMVIII

Konversi Satuan Ukuran Berat, Panjang, Luas dan Isi

Berikut ini adalah satuan ukuran secara umum yang dapat dikonversi untuk berbagai keperluan sehari-hari yang disusun berdasarkan urutan dari yang terbesar hingga yang terkecil :

km = Kilo Meter
hm = Hekto Meter
dam = Deka Meter
m = Meter
dm = Desi Meter
cm = Centi Meter
mm = Mili Meter

A. Konversi Satuan Ukuran Panjang
Untuk satuan ukuran panjang konversi dari suatu tingkat menjadi satu tingkat di bawahnya adalah dikalikan dengan 10 sedangkan untuk konversi satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 10. Contoh :

- 1 km sama dengan 10 hm
- 1 km sama dengan 1.000 m
- 1 km sama dengan 100.000 cm
- 1 km sama dengan 1.000.000 mm
- 1 m sama dengan 0,1 dam
- 1 m sama dengan 0,001 km
- 1 m sama dengan 10 dm
- 1 m sama dengan 1.000 mm

B. Konversi Satuan Ukuran Berat atau Massa
Untuk satuan ukuran berat konversinya mirip dengan ukuran panjang namun satuan meter diganti menjadi gram. Untuk satuan berat tidak memiliki turunan gram persegi maupun gram kubik. Contohnya :

- 1 kg sama dengan 10 hg
- 1 kg sama dengan 1.000 g
- 1 kg sama dengan 100.000 cg
- 1 kg sama dengan 1.000.000 mg
- 1 g sama dengan 0,1 dag
- 1 g sama dengan 0,001 kg
- 1 g sama dengan 10 dg
- 1 g sama dengan 1.000 mg

C. Konversi Satuan Ukuran Luas
Satuan ukuran luas sama dengan ukuran panjang namun untuk mejadi satu tingkat di bawah dikalikan dengan 100. Begitu pula dengan kenaikan satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 100. Satuan ukuran luas tidak lagi meter, akan tetapi meter persegi (m2 = m pangkat 2).

- 1 km2 sama dengan 100 hm2
- 1 km2 sama dengan 1.000.000 m2
- 1 km2 sama dengan 10.000.000.000 cm2
- 1 km2 sama dengan 1.000.000.000.000 mm2
- 1 m2 sama dengan 0,01 dam2
- 1 m2 sama dengan 0,000001 km2
- 1 m2 sama dengan 100 dm2
- 1 m2 sama dengan 1.000.000 mm2

D. Konversi Satuan Ukuran Isi atau Volume
Satuan ukuran luas sama dengan ukuran panjang namun untuk mejadi satu tingkat di bawah dikalikan dengan 1000. Begitu pula dengan kenaikan satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 1000. Satuan ukuran luas tidak lagi meter, akan tetapi meter kubik (m3 = m pangkat 3).

- 1 km3 sama dengan 1.000 hm3
- 1 km3 sama dengan 1.000.000.000 m3
- 1 km3 sama dengan 1.000.000.000.000.000 cm3
- 1 km3 sama dengan 1.000.000.000.000.000.000 mm3
- 1 m3 sama dengan 0,001 dam3
- 1 m3 sama dengan 0,000000001 km3
- 1 m3 sama dengan 1.000 dm3
- 1 m3 sama dengan 1.000.000.000 mm3

Cara Menghitung :
Misalkan kita akan mengkonversi satuan panjang 12 km menjadi ukuran cm. Maka untuk merubah km ke cm turun 5 tingkat atau dikalikan dengan 100.000. Jadi hasilnya adalah 12 km sama dengan 1.200.000 cm. Begitu pula dengan satuan ukuran lainnya. Intinya adalah kita harus melihat tingkatan ukuran serta nilai pengali atau pembaginya yang berubah setiap naik atau turun tingkat/level.

Satuan Ukuran Lain :

A. Satuan Ukuran Panjang
- 1 inch / inchi / inc / inci = sama dengan = 25,4 mm
- 1 feet / ft / kaki = sama dengan = 12 inch = 0,3048 m
- 1 mile / mil = sama dengan = 5.280 feet = 1,6093 m
- 1 mil laut = sama dengan = 6.080 feet = 1,852 km

1 mikron = 0,000001 m
1 elo lama = 0,687 m
1 pal jawa = 1.506,943 m
1 pal sumatera = 1.851,85 m
1 acre = 4.840 yards2
1 cicero = 12 punt
1 cicero = 4,8108 mm
1 hektar = 2,471 acres
1 inchi = 2,45 cm

B. Satuan Ukuran Luas
- 1 hektar / ha / hekto are = sama dengan = 10.000 m2
- 1 are = sama dengan = 1 dm2
- 1 km2 = sama dengan = 100 hektar

C. Satuan Ukuran Volume / Isi
1 liter / litre = 1 dm3 = 0,001 m3

D. Satuan Ukuran Berat / Massa
- 1 kuintal / kwintal = sama dengan = 100 kg
- 1 ton = sama dengan = 1.000 kg
- 1 kg = sama dengan = 10 ons
- 1 kg = sama dengan = 2 pounds

Sabtu, 28 Desember 2013

Keunikan bilangan 9 - pada perhitungan sisa pembagian

Haloo ..
Kali ini saya akan membahas lagi mengenai keunikan suatu bilangan ...
Dan..... Bilangan kali ini adalah BILANGAN SEMBILAN.
Ya, lagi-lagi bilangan yang satu ini menjadi primadona bagi saya.
Alasannya adalah karena bilangan ini mempunyai salah satu kekhasan dari tiap unsurnya ...
Maksud loe .... Ya, udah banyak kan yang kita ketahui mengenai kespesialan bilangan ini ...

Mari kita bahas apa yang menjadi daya tarik saya untuk membahas bilangan ini ...
Kita dapat mengetahui sisa pembagian dari bilangan yang dibagi dengan 9, tanpa harus membaginya dulu ..
Namun, gunakanlah cara ini ketika kamu membaginya dengan bilangan yang tidak habis dibagi 9 saja ....
Karena tidak berlaku untuk bilangan yang habis dibagi ....
Secara, sisanya kan Nol ( 0 ) ....

Contoh :

24 : 9 = ??
Sisanya adalah 6 ...
Didapat dari 2 + 4 = 6 ( 2 dan 4 didapat dari angka 24) ..
Bukti : 24 : 9 = ?? ( angka yang mendekati = 18 )
Maka sisanya = 6 ...

Contoh :

64 : 9 = ??
Nah, sisa yang kita dapatkan = 10 ...
Tidak perlu bingung ...
Tinggal anda tambahkan saja sekali lagi ...
1 + 0 = 1 ..

Contoh :

78 : 9 = ??
Sisa = 7 + 8 = 15 ..
1 + 5 = 6 ..
Maka, sisa = 6 ....

Gmana ??
Mudahkan ??

Catatan :

Sembilan sungguh merupakan angka yang unik dan kontroversial.

Bahkan angka berapapun jika dikali dengan angka sembilan dan hasilnya ditambahkan maka akan kembali ke angka sembilan.

sungguh angka yang sangat ajaib.

Perhatikan contoh dibawah ini

2×9 = 18 1+8=9

3×9 = 27 2+7=9

4×9 = 36 3+6=9

bahkan

9×8x4×6x3×7 =36288 3+6+2+8+8=27 2+7=9

sungguh benar-benar angka yang fantastis dan ajaib

Mencari KPK dan FPB

KPK adalah singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil.
Sedangkan FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar.

Cara mencari KPK

Caranya anda bisa menggunakan cara menuliskan kelipatannya satu per satu. Contoh:

KPK dari 12 dan 15 adalah:

Kelipatan 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, ...
Kelipatan 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, ...

Kelipatan dari 12 dan 15 yang sama diatas adalah 60, 120, dan seterusnya. Karena kita mencari yang terkecil, maka KPK dari 12 dan 15 adalah 60.

Apabila angka yang akan dicari KPK-nya besar, maka cara diatas sulit dipakai. Ada cara yang lebih mudah lagi dibandingkan cara diatas. Yaitu dengan cara menggunakan faktorisasi prima.

Waduh... kalau ada yang lebih mudah, kenapa pake cara diatas?

Nah, caranya begini.

Misalkan yang ingin dicari faktorisasi prima-nya angka 60. Nah, kita cari bilangan prima terkecil yang bisa membagi angka 60.

Bilangan prima terkecil yang bisa membagi 60 adalah 2. Lalu bagilah 60 dengan 2. Didapatkan angka 30. Lalu cari bilangan prima terkecil yang bisa membagi angka 30, yaitu 2. Lalu bagi 30 dengan 2. Didapatkan 15. begitu terus, sampai angkanya tidak bisa dibagi lagi dengan bilangan prima apapun.

Nah, kira-kira bisa dijelaskan dengan gambar dibawah ini.

Nah, lalu kumpulkan semua bilangan prima. Yaitu 2, 2, 3, dan 5. Nah, apabila ada bilangan yang sama, jadikan dalam bentuk pangkat. Ada 2 buah angka 2. Jadi 22.

Jadi, faktorisasi prima dari 60 adalah 22 x 3 x 5.

Nah, bila dicari KPK-nya, kalikan semua bilangan, lalu apabila ada bilangan yang sama, cari yang pangkatnya lebih tinggi.

Contoh: KPK 30 dan 36.

30 = 2 x 3 x 5
36 = 22 x 32

Karena ada 2 buah angka 2 dan 3, cari yang pangkatnya lebih tinggi. Dalam hal ini adalah 22 dan 32. Jadi KPK dari 30 dan 36 adalah 22 x 32 x 5. = 4 x 9 x 5 = 180

Cara mencari FPB

Nah, cara mencari FPB, salah satunya dengan cara menyebutkan satu-persatu faktornya dan cari faktor yang sama dan yang paling besar.

Misal:

Faktor 15: 1, 3, 5, 15
Faktor 25: 1, 5, 25

FPB 15 dan 25: 5

Sebenarnya ada cara lain. Yaitu menggunakan faktorisasi prima. Caranya yaitu dengan mencari faktor prima yang berada di kedua bilangan dan mempunyai pangkat paling kecil.

Contoh: FPB 30 dan 36.

30 = 2 x 3 x 5
36 = 22 x 32

Maka FPB 30 dan 36: 2 x 3 = 6

Mengubah Pecahan Ke Decimal

“Bagaimana cara mengubah pecahan desimal ke pecahan biasa?”
“Tinggal lihat berapa angka di belakang koma,” jawab Meti.

1 angka di belakang koma maka menjadi per 10

Contoh:

0,5 = 5/10
0,3 = 3/10
1,2 = 12/10 = 1 2/10 = 1 1/5

2 angka di belakang koma maka menjadi per 100

Contoh:

0,75 = 75/100 = 3/4
0,25 = 25/100 = 1/4
4,25 = 425/100 = 4 25/100 = 4 1/4

3 angka di belakang koma maka menjadi per 1000, dan seterusnya.

“Paman APIQ, katanya ada juga pecahan desimal yang panjang tidak terbatas. Bagaimana maksudnya?” tanya Al.

Misal:
0,3333333….. = ?

“Mari sedikit kita gunakan teknik aljabar,” ajak Paman APIQ.

0,333… = a

Kalikan dengan 10 maka menghasilkan 10a.

10a = 0,333… x 10 = 3,333….

Kurangkan 10a – a = 9a

9a = 3,333…. – 0,333…
9a = 3
a = 3/9 = 1/3

Jadi, a = 1/3 = 0,333333…..

Bagaimana menurut Anda?

Faktor Dan Faktorisasi Prima

Mencari Faktor

Caranya dengan mencari semua hasil perkalian yang hasilnya sama dengan bilangan terebut, mulai dari angka 1.
Contoh :
Cari Faktor 12 !
1 x 12
2 x 6
3 x 4
Faktor dari 12 = 1,2,3,4,6,12

Cari Faktor 36 !
1 x 36
2 x 18
3 x 12
4 x 9
6 x 6
Faktor dari 36 = 1,2,3,4,6,9,12,18,36

Bilangan Prima

adalah bilangan yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri (bilangan yang hanya mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri)
Contoh Bilangan Prima adalah 2,3,5,7,11,13,17,19,23 ........
Jumlah 6 bilangan prima yang pertama = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 45
Hasil kali 4 bilangan prima yang pertama = 2 x 3 x 5 x 7 = 210
Bilangan prima yang merupakan bilangan genap adalah 2

Faktor Prima

adalah faktor-faktor suatu bilangan yang merupakan bilangan prima.
Mencari faktorisasi prima dan faktor prima dengan menggunakan pohon faktor :
Contoh :
1. Tentukan faktorisasi prima dan faktor prima dari 36 !